Trung Tuyến Trong Tam Giác Vuông

     

Công thức tính độ lâu năm trung đường trong tam giác & những dạng bài xích tập

Sau đây trung học phổ thông Sóc Trăng sẽ chia sẻ đến chúng ta công thức tính độ nhiều năm trung đường trong tam giác rất hay và những dạng toán yêu thương gặp. Hãy share để nắm chắc hơn phần kỹ năng và kiến thức Hình học 12 vô cùng đặc trưng này các bạn nhé !

I. LÝ THUYẾT VỀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN vào TAM GIÁC 


1. Đường trung tuyến đường là gì? Đường trung tuyến đường trong tam giác là gì?

Bạn đã xem: phương pháp tính độ dài trung tuyến trong tam giác & những dạng bài bác tập

Đường trung tuyến của 1 đoạn thẳng là 1 đường thẳng đi qua trung điểm của con đường thẳng đó


Đường trung đường trong tam giác là một trong những đoạn trực tiếp nối từ bỏ đỉnh của tam giác tới những cạnh đối diện nó. Mỗi tam giác tất cả 3 mặt đường trung tuyến.

Bạn đang xem: Trung tuyến trong tam giác vuông

2. đặc điểm của con đường trung tuyến trong tam giác

Trong tam giác thường, vuông, cân đều phải có tính chất của con đường trung tuyến đường khác nhau.

Đường trung tuyến đường trong tam giác thường có 3 đặc điểm như sau:

3 đường trung con đường trong tam giác cùng đi qua một điểm, điểm đó cách đỉnh tam giác một khoảng tầm bằng độ lâu năm của mặt đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.Giao điểm của 3 mặt đường trung tuyến đường được call là trọng tâmVị trí trọng tâm trong tam giác: trọng tâm của 1 tam giác giải pháp mỗi đỉnh 1 khoảng chừng bằng độ dài con đường trung tuyến trải qua đỉnh đó.

Tính hóa học đường trung đường của tam giác vuông:

 Tam giác vuông là 1 trong trường hợp quan trọng của tam giác, trong đó, tam giác sẽ có một góc gồm độ béo là 90 độ, với hai cạnh tạo cho góc này vuông góc với nhau.

– bởi vì đó, mặt đường trung con đường của tam giác vuông đã có đầy đủ những đặc thù của một đường trung tuyến tam giác.

Định lý 1: Trong một tam giác vuông, con đường trung tuyến đường ứng cùng với cạnh huyền bởi nửa cạnh huyền.

Định lý 2: Một tam giác tất cả trung tuyến ứng với cùng một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Tính hóa học đường trung tuyến của tam giác đều, tam giác cân

Đường trung con đường ứng cùng với cạnh đáy thì vuông góc với cạnh đấy, và phân tách tam giác thành 2 tam giác bằng nhau

II. CÔNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN trong TAM GIÁC

Công thức:

Công thức tính độ dài con đường trung đường của cạnh bất kỳ bằng căn bậc 2 của một trong những phần hai tổng bình phương nhì cạnh kề trừ một trong những phần tư bình phương cạnh đối.


*

Trong đó: a, b ,c theo lần lượt là các cạnh vào tam giác

ma, mb, mc lần lượt là gần như đường trung tuyến trong tam giác

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

Cho tam giác ABC, tất cả BC = a, CA = b và AB = c. Chứng minh rằng ví như b2 + c2 = 5a2 thì nhì trung con đường kẻ từ B cùng C của tam giác vuông góc cùng với nhau.

Xem thêm: Top 18 Mẫu Kể Về Một Người Thân Của Em Hay Nhất, Top 177 Bài Văn Tả Người Thân Lớp 5

Lời giải:

*
cách làm tính độ dài con đường trung tuyến đường (ảnh 6)" />

Gọi D cùng E lần lượt là trung điểm của AB và AC, G là trọng tâm tam giác ABC.

Đặt BE = mb, CD = mc

Áp dụng cách làm trung đường trong tam giác ABC ta có:

*
phương pháp tính độ dài đường trung tuyến (ảnh 7)" />

Vậy b2 + c2 = 5a2 thì nhị trung tuyến đường kẻ trường đoản cú B và C của tam giác vuông góc với nhau. (đpcm)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có BC = a = 10 cm, CA = b = 8 cm, AB = c = 7 cm. Tính độ dài những đường trung đường của tam giác ABC.

Lời giải:

Gọi độ dài trung con đường từ những đỉnh A, B, C của tam giác ABC lần lượt là ma; mb; mc.

Áp dụng bí quyết trung tuyến ta có:

*
bí quyết tính độ dài mặt đường trung con đường (ảnh 4)" />

Vì độ dài những đường trung tuyến đường (là độ lâu năm đoạn thẳng) nên nó luôn luôn dương, vì đó:

*
phương pháp tính độ dài con đường trung tuyến (ảnh 5)" />

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Cho tam giác ABC cân nặng tại A, hai đường trung tuyến BD và CE giảm nhau trên G. Kéo dài AG cắt BC trên H.

a. đối chiếu tam giác AHB cùng tam giác AHC.

b. Hotline I với K theo lần lượt là trung điểm của GA với GC. Chứng tỏ rằng AK, BD, CI đồng quy.

Lời giải:

*
phương pháp tính độ dài đường trung tuyến đường (ảnh 11)" />

a. Ta gồm BD là đường trung tuyến đường của tam giác ABC

CE là đường trung đường của tam giác ABC

Vậy G là giữa trung tâm tam giác ABC

Mà AH trải qua G bắt buộc AH là đường trung tuyến của tam giác ABC

HB = HC

Xét nhị tam giác AHB với tam giác AHC có:

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

AH chung

HB = HC

⇒ ΔAHB = ΔAHC (c – c – c)

b. Ta tất cả IA = IG đề nghị CI là con đường trung con đường của tam giác AGC (1)

Ta lại sở hữu KG = KC đề xuất AK là mặt đường trung tuyến đường của tam giác AGC (2)

DG là mặt đường trung tuyến của tam giác AGC (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra 3 con đường trung tuyến CI, AK, DG đồng quy trên I

Bài 2: Cho tam giác ABC tất cả BC = a = 10 cm, CA = b = 8 cm, AB = c = 7 cm. Tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác ABC.

Xem thêm: Ý Nghĩa Hình Xăm Geisha Nhật Bản, 49 Mẫu Hình Xăm Cô Gái Nhật Cầm Quạt

Lời giải:

Gọi độ lâu năm trung tuyến đường từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC theo thứ tự là ma; mb; mc.

Áp dụng phương pháp trung con đường ta có:

*

Vì độ dài những đường trung đường (là độ lâu năm đoạn thẳng) buộc phải nó luôn dương, bởi vì đó:

*

Bài 3: Cho tam giác MNP cân nặng tại M, biết MN = MP = 8cm, NP = 7cm. Kẻ đường tuyến MI. Chứng minh MI ﬩ NP

Lời giải:

Ta có MI là đường trung tuyến đường của ∆MNP cần IN = IP

Mặt không giống ∆MNP là tam giác cân nặng tại M

=> ngươi vừa là mặt đường trung tuyến vừa là con đường cao

=> mày ﬩ NP

Bài 4: Cho tam giác ABC gồm AB = AC, call K là giao điểm của hai đường trung đường BM và CN. Chứng minh rằng:

a. Tam giác BNC cùng tam giác CMB bởi nhau

b. KB = KC

c. BC

*
phương pháp tính độ dài mặt đường trung con đường (ảnh 12)" />

a. Ta có: AB = AC (gt)

*
phương pháp tính độ dài đường trung tuyến đường (ảnh 13)" />

⇒ BN = CM

Xét ΔBCN và ΔCBM có:

BC là cạnh chung

BN = CM

*
phương pháp tính độ dài con đường trung tuyến (ảnh 14)" />

Nên tam giác KBC cân tại A

Suy ra KB = KC

c. Xét ΔABC có:

NA = NB (CN là đường trung tuyến)

MA = MC (MB là đường trung tuyến)

Suy ra NM là đường trung bình của tam giác ABC

*
cách làm tính độ dài con đường trung tuyến (ảnh 15)" />

Xét tam giác NKM có:

NM 2 = AB2 + AC2 ⇒ BC2 = 182 + 242 = 900 ⇒ BC = 30cm

Ta bao gồm ABC vuông mà lại D là trung điểm cạnh huyền đề xuất AD = BD = DC = 15cm

Suy ra: AG = 2/3 AD = 10cm

Xét tam giác AEC vuông tại A, áp dụng định lý Pitago ta có:

EC2 = AE2 + AC2 ⇒ EC2 = 92 + 242 = 657 ⇒ EC = 3√73 cm ⇒ CG = 2/3 EC = 2√73 cm

Tương từ bỏ ta xét tam giác AFB vuông trên A, vận dụng định lý Pitago ta có:

BF2 = AB2 + AF2 ⇒BF2 = 182 + 122 = 468 ⇒ BF = 6√13 centimet ⇒ BG = 2/3 BF = 4√13 cm

Tổng các khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến những đỉnh của tam giác là:

AG + BG + CG = 10 + 4√13 + 2√73 (cm)

Bài 7: Gọi S = ma2 + mb2 + mc2 là tổng bình phương độ dài tía đường trung đường của tam giác ABC. Xác định nào sau đây là đúng? (cho BC = a, CA = b, AB = c)

*

Lời giải:

Áp dụng công thức trung đường trong tam giác ABC ta có:

*

Đáp án A

Bài 8: Cho tam giác ABC có AB = 3, BC = 5 với độ dài con đường trung tuyến 

*
. Độ nhiều năm AC là:

*

Hướng dẫn giải:

*

BM là trung đường của tam giác ABC, vận dụng công thức trung con đường ta có:

*

Đáp án B