Tính Chất Đường Cao Trong Tam Giác

     

Trong một tam giác, đoạn vuông góc kẻ xuất phát từ 1 đỉnh cho đường thẳng cất cạnh đối diện gọi là mặt đường cao của tam giác đó.

Bạn đang xem: Tính chất đường cao trong tam giác

Ví dụ: Xét tam giác (ABC), đoạn thẳng(AI)vuông góc với(BC). Ta nói đoạn thẳng(AI)là một đường cao (xuất phạt từ đỉnh(A)) của tam giác(ABC).

*

Đôi lúc ta cũng nói đường thẳng(AI)là một đường cao của tam giác(ABC).

Tương trường đoản cú như vậy, ta có thể kẻ những đường cao​​(BH,CK)của tam giác(ABC)như hình sau:

*

Mỗi tam giác có bố đường cao.

Ví dụ 1: mang đến tam giác nhọn(ABC)có hai tuyến đường cao(AD,BE)cắt nhau tại(H). Biết(widehatACB=70^0). Tính số đo góc(widehatDHE)?

Giải:

*

Xét trong tam giác(BEC)vuông tại(E)ta có(widehatEBC+widehatECB=90^0)

(RightarrowwidehatEBC=90^0-70^0=20^0)hay(widehatHBD=20^0)

Xét trong tam giác(HDB)vuông tại(D)ta có(widehatHBD+widehatDHB=90^0)

(RightarrowwidehatDHB=90^0-widehatHBD=90^0-20^0=70^0)

Mặt không giống ta có:(widehatDHB+widehatDHE=180^0)(hai góc bù nhau)

Nên(widehatDHE=180^0-70^0=110^0)

2. đặc điểm ba con đường cao của tam giác

Định lí:

Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này gọi là trực trọng tâm của tam giác.

Ví dụ: Xét những dạng tam giác(ABC)sau. Các đường cao(AI,BK,CL)cùng đi qua (đồng quy tại) điểm(H). Khi đó,(H)là trực tâm của tam giác(ABC).

*

Nhận xét: Trực trung tâm của một tam giác hoàn toàn có thể nằm trong tam giác, hoàn toàn có thể nằm kế bên tam giác hoặc trùng với cùng 1 đỉnh của tam giác.

Ví dụ 2: mang đến tam giác(ABC)vuông cân tại(A).Trên cạnh(AB)lấy điểm(H). Trên tia đối của tia(AC)lấy điểm(D)sao cho(AD=AH).

Xem thêm: Hướng Dẫn Soạn Bài Tổng Kết Phần Tiếng Việt Lớp 6 Tập 2, Soạn Bài Tổng Kết Phần Văn

Chứng minh rằng(CHperp BD).

Giải:

*

Gọi giao điểm của(DH)và(BC)là(E).

Do tam giác(ABC)vuông cân tại(A)nên(widehatACB=widehatABC=45^0)

(RightarrowwidehatECD=45^0)

Lại có:(AD=AH)(RightarrowDelta AHD)vuông cân tại(A). Bởi đó(widehatAHD=widehatADH=45^0)

(RightarrowwidehatCDE=45^0)

Xét tam giác(ECD)có(widehatCDE+widehatECD+widehatCED=180^0)(tổng tía góc vào một tam giác)

(Rightarrow45^0+45^0+widehatCED=180^0RightarrowwidehatCED=90^0)

(Rightarrow DHperp BC)

Xét tam giác(BCD)có(BHperp CD,DHperp BC)suy ra những đường thẳng(BH,DH)là đường cao của tam giác(BCD)

Do 3 mặt đường cao của tam giác đồng quy trên một điểm.

Nên(H)là trực trọng điểm của tam giác(BCD)(Rightarrow CHperp BD)


3. Về các đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác của tam giác cân

Tính chất:

Trong một tam giác cân, con đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, mặt đường trung con đường và con đường cao cùng bắt đầu từ đỉnh đối diện với cạnh đó.

Nhận xét: vào một tam giác, nếu hai trong bốn loại con đường (đường trung tuyến, mặt đường phân giác, đường cao cùng khởi hành tại một đỉnh và mặt đường trung trực ứng với cạnh đối lập của đỉnh này) trùng nhau thì tam giác đó là 1 trong những tam giác cân.

Ví dụ 3: Cho tam giác(ABC)cân tại(A), mặt đường cao(AI). Biết(AB=AC=10cm),(BC=12cm). Tính độ nhiều năm đoạn thẳng(AI).

Xem thêm: Điểm Chuẩn Lớp 10 Trường Thpt Chuyên Bắc Giang, Đánh Giá Trường Thpt Chuyên Bắc Giang

Giải:

Do tam giác(ABC)cân tại(A)nên đường cao(AI)đồng thời là trung con đường ứng cùng với cạnh(BC)

(Rightarrow I)là trung điểm(BC)

(Rightarrow IB=dfracBC2=dfrac122=6left(cm ight))

Ta có: Tam giác(ABI)vuông tại(I). Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

(AI^2+BI^2=AB^2)

(Rightarrow AI=sqrtAB^2-BI^2=sqrt10^2-6^2=8left(cm ight))


Đặc biệt:Đối cùng với tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm giải pháp đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và biện pháp đều bố cạnh là bốn điểm trùng nhau.