Tích phân suy rộng loại 1

     
Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng cùng PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-T

1. Tích phân suy rộng loại 1 (infinite limits of integration): New Update

1.1 Định nghĩa:

Giả sử f(x) xác minh trên

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn hoặc vô cùng):

*

Thì số lượng giới hạn này điện thoại tư vấn là tích phân suy rộng của f(x) bên trên
Bạn đang xem: Tích phân suy rộng loại 1

Nếu giới hạn này là hữu hạn ta nói tích phân suy rộng lớn

*
là hội tụ (integral is convergent)

Nếu giới hạn này là khôn xiết hoặc không tồn trên ta nói tích phân suy rộng

*
là phân kỳ (integral is divergent).

Ví dụ:

*
là hội tụ;
*
là phân kỳ.

Thật vậy ta có:

1.

*

2.

*
.

Ví dụ 2: Tính tích phân suy rộng:

*

Ta có:

*
(*)

– Trước tiên, Tính tích phân:

*

Sử dụng công tức tính phân từng phần ta có:

*

Thế vào (*) ta có:

*

(do

*
)

Vậy: I quy tụ và

*

1.2 Định nghĩa:

*

1.3 Tích phân quan trọng:

Bài toán xét sự quy tụ của tích phân:

*
0 ; }}\rm s > 0" class="latex" />

Nếu

*
1} " class="latex" /> thì tích phân hội tụ.

Nếu

*
thì tích phân phân kỳ.

Chứng minh:

Ta có:

*
_x=a^c " class="latex" />

Với s > 1. Khi đó:

*

Vậy chuỗi hội tụ.

Với s =1: theo lấy một ví dụ trên ta có chuỗi phân kỳ.

Với s

*
= + \infty " class="latex" /> (1-s > 0).

Vậy chuỗi phân kỳ.

1.4 Tiêu chuẩn hội tụ, trường thích hợp f(x) ≥ 0

1.4.1 Định lý đối chiếu 1:

Giả sử f(x) và g(x) ko âm với khả tích trên , và f(x) ≤ g(x) ở sát bên +∞ ( tức là x đầy đủ lớn). Lúc đó:

Nếu
*
quy tụ thì tích phân
*
hội tụNếu
*
phân kỳ thì tích phân
*
phân kỳ.

Xem thêm: Nên Mua Webcam Loại Nào Cho Máy Tính, Top 3 Webcam Tốt Nhất Cho Việc Học Trực Tuyến

1.4.2 Định lý đối chiếu 2:

Giả sử f(x) và g(x) không âm với cùng khả tích bên trên , với f(x) ≤ g(x) ở ở kề bên +∞ ( tức là x đầy đủ lớn).

Nếu

*

Nhận xét:

– Để xét sự hội tụ của tích phân

*
, ta đề xuất xây dựng hàm g(x) sao cho
*
. Nghĩa là, f(x) và g(x) là hai lượng tương đương.

Muốn vậy, ta nên nhận diện và thay thế sửa chữa các VCB, VCL (khi x → +∞ ) gồm trong f(x) bằng các VCB, VCL tương đương. Tuy nhiên, cần chăm chú cả nhì hàm f(x) cùng g(x) đề xuất cùng khả tích trên

1.5 các ví dụ: Xét sự hội tụ của những tích phân:

Ví dụ 1

*
.

Rõ ràng: hàm

*
là hàm số dương, xác định và tiếp tục với hầu hết x thuộc
*
.

Khi

*
: lnx là VCL nhưng không tìm kiếm được VCL tương đương tương ứng. Vì chưng vậy, ta không dùng dấu hiệu đối chiếu 2.

Ta hoàn toàn có thể dùng vết hiệu đối chiếu 1. ước ao vậy, phải chặn hàm lnx. Ta thuận lợi có bất đẳng thức sau:

*

*

Vậy tích phân đã cho phân kỳ.( vì tích phân

*
phân kỳ).

Ví dụ 3

*
1+x^2}}}dx " class="latex" /> . $latex $

lưu ý hàm rước tích phân, ta thấy:

khi

*

*
1+x^2} \sim x^\frac23 " class="latex" />

Vậy:

*
1+x^2}} \sim \dfrac1x^\frac76 = g(x) " class="latex" />

Mà f(x) cùng g(x) cùng khả tích trên <1;+∞) bắt buộc

*
cùng
*
cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.

Mặt khác:

*
hội tụ. (do s = 7/6 > 1)

Vậy tích phân I3 hội tụ.

Ví dụ 4.

*
x}1+x^2} dx " class="latex" /> . $latex $

Khi

*
ta có:

*
x}1+x^2 \sim \dfracx^\frac13x^2 = \dfrac1x^\frac53 = g(x) " class="latex" />

Tuy nhiên, f(x) khẳng định và liên tục với đa số

*
, còn g(x) không xác minh tại x = 0 nên ta không thể dùng dấu hiệu đối chiếu 2 được.

Khi đó, tách I4 thành 2 tích phân ta có:

*
x}1+x^2 dx + \int\limits_1^\infty \dfrac\sqrt<3>x1+x^2 dx " class="latex" />

– bởi

*
x}1+x^2 " class="latex" /> xác minh và liên tục trên <0;1> đề nghị
*
x}1+x^2 dx " class="latex" /> là tích phân xác định nên hội tụ.

Xem thêm: Chức Năng Điều Khiển Điều Hoà Samsung Đơn Giản, Chính Xác Nhất

*
x}1+x^2 dx \sim \int\limits_1^+\infty \dfracdxx^5/3 " class="latex" /> phải hội tụ.