Hàm số khả vi là gì

     
Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng với PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

Ta đã biết rằng khái niệm đạo hàm riêng rẽ cho chúng ta biết được tốc độ chuyển đổi của hàm số khi cho một trong những biến số đổi khác giá trị. Bây gờ, chúng ta sẽ nghiên cứu sự thay đổi của hàm số 2 trở nên

*
khi cho cả hai biến hóa số thay đổi.

Bạn đang xem: Hàm số khả vi là gì

Xét hàm số

*
*
là điểm thuộc miền xác minh D. Ta mang đến x, y thay đổi 1 lượng khớp ứng
*
làm sao để cho
*
. Lúc đó, quý hiếm của hàm số sẽ đổi khác một lượng:

*

1. Định nghĩa 1:

Hàm số f(x;y) được call là khả vi tại điểm

*
giả dụ số gia toàn phần
*
rất có thể biểu diễn được bên dưới dạng:

*
(1)

trong kia A, B là đầy đủ số không dựa vào Δx, Δy; còn α, β → 0 khi Δx, Δy → 0

Khi đó, đại lượng A.Δx +B.Δy được hotline là vi phân toàn phần của hàm số f(x;y) trên

*
ứng với các số gia Δx, Δy với được cam kết hiệu
*

Ví dụ:

Xét hàm số

*
. Ta có:

*

Hay:

*

Do đó:

*

Cho phải hàm số khả vi trên

*
với
*

Nhận xét:

1. Xét

*
,
*

Cho

*
thì
*
. Lúc đó, áp dụng bất đẳng thức B.C.S và giới hạn kẹp ta có:

*

Do đó, ε là vietcombank khi ρ → 0.

Vì vậy, biểu thức (1) hoàn toàn có thể viết dưới dạng:

*
, 0(ρ) là vô cùng bé bỏng bậc cao hơn nữa ρ.

2. Ta ko thể cần sử dụng định nghĩa nhằm xét sự khả vi của hàm số

*
như nghỉ ngơi ví dụ 1 được. Tổng quát, chỉ rất có thể áp dụng có mang để xét sự khả vi cho phần đa hàm số dạng nhiều thức, còn các hàm số không giống thì ko thể cần sử dụng định nghĩa để khảo sát điều tra sự khả vi ở một điểm. Vị vậy, ta cần phải tìm một luật khác để xử lý vấn đề này.

3. Hàm số

*
được hotline là khả vi bên trên miền D nếu như nó khả vi tại số đông điểm trực thuộc D.

2. Định lý 1: (Điều kiện yêu cầu để hàm số khả vi)

Nếu hàm số

*
khả vi trên
*
thì nó thường xuyên tại điểm đó.

Chứng minh:

Vì hàm số khả vi, yêu cầu từ bí quyết (1) ta có:

*
} = 0 " class="latex" />

Vậy:

*

Do đó, hàm số thường xuyên tại

*
.♦

Nhận xét:

1. Nếu hàm số f(x;y) không liên tiếp tại

*
thì sẽ không còn khả vi trên điểm đó.

Xem thêm: Mặt Vuông Nên Để Mái Gì ? Top 5 Kiểu Mái Cho Mặt Vuông Đẹp Nhất

2. Hàm số khả vi bên trên miền D thì tiếp tục trong miền đó.

3. Định lý 2:

Nếu f(x;y) khả vi tại

*
thì nó có các đạo hàm riêng biệt
*
tại
*
và chúng tương ứng bằng A cùng B vào biểu thức 1 của có mang hàm số khả vi.

Chứng minh:

Thật vậy, từ công thức (1) ta mang đến

*
, ta được:

*

trong kia α →0 lúc Δx → 0.

Do đó:

*

Vậy

*

Hoàn toàn tương tự như ta có:

*

Nhận xét:

1. Như vậy, ví như hàm số f(x,y) khả vi trên

*
thì vi phân toàn phần của hàm số tại
*
được xác minh bởi:

*

2. Khác với hàm hàng đầu biến (nếu hàm số gồm đạo hàm thì đã khả vi), ví như hàm số hai biến hóa số f(x,y) có các đạo hàm riêng biệt tại $latex(x_0;y_0) thì chưa chắc hẳn nó đang khả vi tại điểm đó. Ta xét hàm số sau:

*

Theo có mang đạo hàm riêng, ta có:

*

Tương tự ta có:

*
nhưng mà hàm số G(x;y) không thường xuyên tại (0; 0) (xem phần số lượng giới hạn hàm các biến) bắt buộc không khả vi trên (0;0)

4. Định lý 3 (Điều khiếu nại đủ để hàm số khả vi)

Cho hàm số f(x;y) có những đạo hàm riêng trong một miền D cất điểm

*
. Nếu những đạo hàm riêng ấy liên tiếp tại M thì hàm số khả vi tại điểm đó.

5. Những ví dụ:

1. đến hàm:

*

Tính

*
với
*
. Hàm tất cả khả vi tại (0;0) giỏi không?

Giải

Để tính các đạo hàm riêng rẽ tại (0;0) ta đề xuất dùng định nghĩa nhưng mà không thể ráng giá trị (0;0) vào biểu thức đạo hàm

Ta có:

*

tương tự:

*
=
*
=
*

Mặc dù, hàm số bao gồm 2 đạo hàm riêng rẽ tại (0;0) cơ mà không khả vi tại điểm đó vì hàm số đã mang đến không liên tiếp tại (0;0). Thật vậy: xét điểm (x;y) tiến về điểm (0;0) theo đường thẳng y = kx ta có.

Xem thêm: Bài Thơ Ông Mặt Trời Óng Ánh Hay Nhất 2022, Bài Thơ Ông Mặt Trời Óng Ánh

*

Vậy quý giá giới hạn phụ thuộc vào thông số k nện số lượng giới hạn không tồn tại.

Do đó:

*

Nên hàm số không liên tiếp tại (0;0) và vì thế nó ko khả vi trên (0;0)

2. Kiếm tìm vi phân của hàm số:

*

Hàm số luôn xác định và thường xuyên với những

*
cần khả vi tại phần đông điểm
*
. Lúc đó ta có: