CHỨNG MINH HÀM SỐ LIÊN TỤC

     

Trong bài học kinh nghiệm trước các em đã biết về số lượng giới hạn của hàm số, nắm nào là số lượng giới hạn hữu hạn, giới hạn một mặt và giới hạn ở vô cực. Tiếp theo họ sẽ khám phá về hàm số thường xuyên trong nội dung bài học này.

Bạn đang xem: Chứng minh hàm số liên tục


Bài viết dưới đây để giúp ta biết cách xét tính tiếp tục của hàm số, áp dụng giải các dạng bài bác tập về hàm số thường xuyên như: Xét tính thường xuyên của hàm số ở một điểm (x=0), bên trên một đoạn hay 1 khoảng, tìm những điểm ngăn cách của hàm số, hay chứng tỏ phương trình f(x)=0 gồm nghiệm.

I. Triết lý về hàm số tiếp tục (tóm tắt)

1. Hàm số liên tiếp tại 1 điểm

- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khẳng định trên khoảng chừng (a;b) với x0 ∈ (a;b). Hàm số y = f(x) được hotline là tiếp tục tại x0 nếu:

 

*

- Hàm số f(x0) không tiếp tục tại điểm x0 thì x0 được call là điểm cách trở của hàm số f(x).

2. Hàm số liên tiếp trên một khoảng

- Định nghĩa: Hàm số y = f(x) được điện thoại tư vấn là tiếp tục trên một khoảng nếu nó tiếp tục tại hầu như điểm của khoảng chừng đó.

- Hàm số y = f(x) được hotline là tiếp tục trên đoan giả dụ nó tiếp tục trên khoảng chừng (a;b) và:

 

*

3. Một trong những định lý cơ bạn dạng về hàm số liên tục

Định lý 1:

a) Hàm số đa thức thường xuyên trên toàn bộ tập số thực R.

b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của 2 nhiều thức) và các hàm con số giác liên tiếp trên từng khoảng tầm của tập xác định của chúng.

Định lý 2:

- trả sử f(x) cùng g(x) là hai hàm số liên tiếp tại điểm x0. Khi đó:

a) những hàm số f(x) + g(x); f(x) - g(x) cùng f(x).g(x) liên tục tại x0.

b) hàm số 

*
 liên tục trên x0 nếu như g(x0) ≠ 0.

• Định lý 3:

- giả dụ hàm số y = f(x) liên tiếp trên đoạn cùng f(a)f(b) II. Các dạng bài xích tập về hàm số liên tục

° Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số trên điểm x0.

* Phương pháp:

- bước 1: Tính f(x0)

- cách 2: Tính  hoặc

- cách 3: So sánh:  hoặc  với 

*
 rồi rút ra kết luận

- Nếu 

*
 hoặc 
*
 thì tóm lại hàm số tiếp tục tại 

- Nếu  không vĩnh cửu hoặc  thì tóm lại hàm số không liên tục tại x0.

- bước 4: Kết luận.

* ví dụ 1 (Bài 1 trang 140 SGK Đại số 11): Dùng tư tưởng xét tính tiếp tục của hàm số f(x)=x3 + 2x - 1 trên x0=3.

° giải mã ví dụ 1 (Bài 1 trang 140 SGK Đại số 11):

- Ta có: f(x) = x3 + 2x - 1

⇒ f(3) = 33 + 2.3 - 1 = 32

*
 
*

*

⇒ f(x) liên tiếp tại x0 = 3.

* Ví dụ 2 (Bài 2 trang 140 SGK Đại số 11): a) Xét tính liên tục của hàm số y = g(x) tại x0 = 2, biết:

 

*

b) vào biểu thức g(x) sinh hoạt trên, bắt buộc thay số 5 bởi vì số như thế nào đó nhằm hàm số liên tiếp tại x0 = 2.

Xem thêm: Sinh Ngày 5/5 Là Cung Gì ? Cung Kim Ngưu Sinh Ngày 5 Tháng 5

° giải thuật ví dụ 2 (Bài 2 trang 140 SGK Đại số 11):

- Ta có: g(2) = 5.

 

*
 
*

 

*

*

⇒ g(x) không liên tiếp tại x0 = 2.

b) Để g(x) liên tục tại x0 = 2 thì:

 

*

- Vậy chỉ cần thay 5 bởi 12 thì hàm số liên tục tại x0 = 2.

* lấy một ví dụ 3: Xét tính tiếp tục của hàm số sau trên điểm x = 1.

 

*

° giải mã ví dụ 3:

- Ta có: f(1) = 1

 

*
 
*
 

 

*

*

⇒ Vậy hàm số f(x) không tiếp tục (gián đoạn) trên điểm x = 1.

* lấy một ví dụ 4: Xét tính tiếp tục của hàm số sau tại điểm x = 0.

 

*

° lời giải ví dụ 4:

- Ta có: f(0) = 02 - 2.0 + 2 = 2.

 

*
 
*

 

*

*

⇒ Vậy hàm số f(x) tiếp tục tại điểm x = 0.

° Dạng 2: Xét tính liên tiếp của hàm số bên trên một khoảng, một đoạn.

* Phương pháp:

- Áp dụng định lý 1, định lý 2 để xét tính liên tục của hàm số bên trên từng khoảng xác định của nó.

- ví như hàm số khẳng định bởi 2 hoặc 3 công thức, ta thường xuyên xét tính liên tục tại những điểm quan trọng của hàm số đó.

* lấy ví dụ 1: Cho hàm số 

*

 

*
 
*

 

*

*

⇒ Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 2.

Xem thêm: Soạn Bài Chương Trình Địa Phương (Phần Văn, Soạn Văn 8 Vnen Bài 29: Chương Trình Địa Phương

- Kết luận: Hàm số f(x) tiếp tục trên khoảng tầm (-7;+∞).

* ví dụ 2: Tìm a, b nhằm hàm số sau liên tục: 

*

 

*

⇒ Để hàm số liên tục tại điểm x = 3 thì:

 

*
 
*
 (*)

• Khi x = 5 thì f(5) = 5a + b

 

*

 

*

⇒ Để hàm số liên tục tại điểm x = 5 thì:

*
 
*
 (**)

Từ (*) với (**) ta có: 

*

- Vậy lúc a = 1 với b = -2 thì hàm số f(x) liên tiếp trên R, khi đó:

 

*

- Hàm số g(x) liên tiếp trên các khoảng: 

*

° Dạng 3: Tìm điểm cách trở của hàm số f(x)

* Phương pháp: x0 là điểm cách biệt của hàm số f(x) giả dụ tại điểm x0 hàm số không liên tục. Thường thì x0 vừa lòng một trong các trường vừa lòng sau: