CÁCH CHỨNG MINH ĐƯỜNG TRUNG BÌNH

     

TOÁN 8 – HÌNH HỌC

CHUYÊN ĐỀ

ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, HÌNH THANG.

Bạn đang xem: Cách chứng minh đường trung bình

A. LÝ THUYẾT1. Đường mức độ vừa phải của tam giác.

Định nghĩa : Đường mức độ vừa phải của tam giác là đoạn trực tiếp nối trung điểm của nhì cạnh của tam giác.

 

*

 Định lý 1.

Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh của tam giác và tuy vậy song với cạnh vật dụng hai thì trải qua trung điểm của cạnh lắp thêm ba.

 

Định lý 2.

Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ bố và bởi nửa cạnh ấy.

 

2. Cách minh chứng đoạn thẳng là mặt đường trung bình của tam giác.

Có 2 cách : (hình minh họa sinh sống trên)

Cách 1 : chứng minh D là trung điểm của AB với E là trung điểm của AC à DE là mặt đường trung bình của tam giác ABC.

Cách 2 : chứng minh D là trung điểm của AB cùng DE song song với BC à DE là mặt đường trung bình của tam giác ABC.

 

3. Đường trung bình của hình thang.

Định nghĩa : Đường vừa đủ của hình thang là đoạn trực tiếp nối trung điểm của hai bên cạnh của hình thang.

*

Định lý 3.

Đường thẳng đi trung điểm một cạnh bên của hình thang và tuy nhiên song với hai lòng thì đi qua trung điểm ở bên cạnh thứ hai.

 

Định lý 4.

Đường vừa đủ của hình thang thì song song với nhị cạnh đáy và bởi nửa tổng hai đáy.

 

4. Cách chứng tỏ đoạn trực tiếp là con đường trung bình của hình thang.

Có 2 cách chứng minh.

Cách 1 : minh chứng E là trung điểm của AD và F là trung điểm của BC à EF là đường trung bình của hình thang ABCD.

Cách 2 : chứng tỏ E là trung điểm của AD với EF // DC à EF là mặt đường trung bình của hình thang ABCD.

 

B. BÀI TẬP.

Bài toán 1 : Cho tứ giác ABCD. điện thoại tư vấn E, F, K theo trang bị tự là trung điểm của AD, BC, AC.

a) đối chiếu độ dài EK cùng CD, KF cùng AB.


b) chứng minh rằng EF

 

Gợi ý :

- học sinh tự vẽ hình.

- a) phụ thuộc vào tính hóa học đường vừa đủ trong tam giác.

- b) dựa vào ý a) đã chứng minh + bất đẳng thức trong tam giác.

Bài toán 2 : Cho tứ giác ABCD. Hotline E, F, I theo lắp thêm tự là trung điểm của AD, BC, AC.

Chứng minh rằng :

a) EI // CD, IF // AB.

b) EF

Gợi ý : tương tự bài toán 1. 

Bài toán 3 : mang đến hình thang ABCD tất cả đáy AB, CD. Hotline E, F, I theo sản phẩm công nghệ tự là trung điểm của AD, BC, AC. Minh chứng rằng ba điểm E, I, F thẳng hàng.

Gợi ý :

- học sinh tự vẽ hình.

- minh chứng EI // DC cùng FI // DC suy ra EI trùng FI suy ra cha điểm thẳng hàng.

 

Bài toán 4 : Cho tam giác ABC, những trung đường BE cùng CD giảm nhau tại G. Call I, K theo máy tự là trung điểm của GB, GC. Minh chứng rằng DE tuy vậy song và bằng IK.

Gợi ý :

- học viên tự vẽ hình.

- phụ thuộc vào dữ khiếu nại đề bài cho + con đường trung bình trong tam giác.

Bài toán 5 : đến tam giác ABC, điểm D nằm trong cạnh AC sao cho AD = DC. điện thoại tư vấn M là trung điểm của BC, I là giao điểm của BD với AM. Chứng tỏ rằng AI = IM.

Xem thêm: Cách Dùng Máy Lọc Không Khí Sharp, Hướng Dẫn Sử Dụng Máy Lọc Không Khí Sharp Kc

Gợi ý :

- học viên tự vẽ hình.


- gọi O là trung điểm của DC. Đi chứng tỏ MO // DI. Chứng minh tiếp DI là mặt đường trung bình của tam giác AMO.

 

Bài toán 6 : Cho tam giác ABC, mặt đường trung tuyến AM. điện thoại tư vấn D là trung điểm của AM, E là giao điểm của BD cùng AC. Minh chứng rằng AE = EC.

Gợi ý :

- học sinh tự vẽ hình.

- call N là trung điểm của EC rồi chưng minh MN // ED.

- chứng tỏ DE là đường trung bình của tam giác AMN.

Bài toán 7 : mang đến tam giác ABC. Vẽ con đường cao AH. Call D, E theo lắp thêm tự là trung điểm của những cạnh AB và AC. Vẽ DI với EK cùng vuông góc với BC. Chứng minh rằng :

a) DI = EK.

b) IK = BC.

Gợi ý :

- học viên tự vẽ hình minh họa.

- phụ thuộc vào đường trung bình chứng minh DI = một nửa AH và EK = 1/2AH.

- I là trung điểm của BH, cùng K là trung điểm của HC. Nhờ vào đó để chứng minh.

 

Bài toán 8 : Cho tam giác ABC. Điểm D, E trực thuộc cạnh AB sao để cho AD = DE = EB. Vẽ DG và EF tuy vậy song cùng với BC.

a) chứng tỏ rằng AG = GF = FC.

b) cho DG = 5cm. Tính BC.

 

Gợi ý :

- học sinh tự vẽ hình.

- a) phụ thuộc đường vừa đủ trong tam giác.

Bài toán 9 : Cho hình thang ABCD (AB// CD). Gọi E, F, I, K theo vật dụng tự là trung điểm của AD, BC, AC, BD. Tính độ dài những đoạn trực tiếp EK, KI, IF biết AB = 18cm cùng CD = 12cm.


Gợi ý : nhờ vào tính chất đường vừa phải trong tam giác và hình thang.

Bài toán 10 : Cho hình thang vuông ABCD (A = D = 90o). điện thoại tư vấn M là trung điểm của BC. Minh chứng rằng tam giác MAD là tam giác cân.

Gợi ý :

- giải pháp 1 : hotline N là trung điểm của AD, chứng minh MN vuông góc cùng với AD. Suy ra tam giác có MN vừa là mặt đường cao vừa là đường trung tuyến đề nghị là tam giác cân.

- cách 2 : call E là giao điểm của AM với DC. ABM = ECM suy ra AM = EM. Rồi ứng dụng đặc điểm đường trung con đường trong tam giác vuông ADE nhằm suy ra DM = AM.

Bài toán 11 : đến hình thang ABCD (AB // CD) bao gồm AB = a, CD = b. Trên AD rước hai điểm E, F làm sao cho AE = EF = FD, trên BC lấy hai điểm M, N sao để cho BM = MN = NC. Tính độ dài các đoạn EM, FN theo a và b.

Gợi ý : dựa vào đường mức độ vừa phải của hình thang.

Bài toán 12 : cho BD là con đường trung đường của tam giác ABC. E là trung điểm của đoạn trực tiếp AD, F là trung điểm của đoạn trực tiếp DC, M là trung điểm của cạnh AB, N là trung điểm của cạnh BC. Chứng tỏ rằng ME // NF.

Gợi ý :

- ME cùng với BD như thế nào? trên sao?


- NF cùng với BD thế nào ? tại sao?

Bài toán 13 : mang lại hình thang ABCD (AB //CD, AB chứng tỏ rằng : IK = (CD - AB).

Gợi ý :

- học sinh tự vẽ hình.

- chứng minh MK là đường trung bình cuả tam giác ACD.

- chứng minh MI là con đường trung bình của tam giác ABD.

- IK = MK - MI.

Bài toán 14 : Cho tam giác ABC. Hotline M là trung điểm của BC. Bên trên tia đối của tia ba lấy điểm D làm thế nào để cho BD = AB. điện thoại tư vấn K là giao điểm của DM và AC. Minh chứng rằng AK = 2KC.

Gợi ý :

- học sinh tự vẽ hình bản thân họa.

- gọi N là trung điểm của AK.

- BN là con đường trung bình của tam giác ADK suy BN//DK suy ra BN//MK.

- Đi chứng tỏ MK là con đường trung bình của tam giác BNC suy ra K là trung điểm của NC.

Xem thêm: Những Câu Ca Dao Tục Ngữ Về Ông Bà : Top 10+ Câu Ca Dao, Tục Ngữ

- Từ những dữ kiện trên học sinh suy ra AK = 2KC.