Biện Luận Hệ Phương Trình Tuyến Tính

     
Chương 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNHBài 1: các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến đường tính1. Định nghĩa:

Hệ phương trình dạng

Trong đó

*
là những ẩn và
*
là các hằng số, được hotline là hệ phương trình đường tính m phương trình, n ẩn.

Ma trận

*
được call là ma trận những hệ số của hệ (1).

Bạn đang xem: Biện luận hệ phương trình tuyến tính

Ma trận

*
là ma trận các hệ số mở rộng của hệ (1). 2. Nhận xét: Một hệ phương trình hoàn toàn xác định ví như ta biết được ma trận hệ số không ngừng mở rộng của nó.

Cột

*
được hotline là cột tự do của hệ (1).

Hệ (1) rất có thể được viết lại bên dưới dạng

*
với A là ma trận các hệ số của hệ (1).

Khi ta thực hiện các phép đổi khác sơ cấp cho trên những dòng của hệ phương trình tuyến đường tính thì ta được một hệ mới tương đương với hệ sẽ cho.

Ta nói

*
là một nghiệm của hệ (1) nếu khi thay
*
thì tất cả các phương trình vào hệ (1) mọi thỏa mãn.

Nếu

*
*
thì hệ phương trình hoàn toàn có thể viết được dưới dạng: AX = B.

3. Ví dụ:

Hệ phương trình là 1 hệ phương trình đường tính 3 ẩn trên

*
.

Hệ phương trình này còn hoàn toàn có thể được viết bên dưới dạng

*
hoặc
*

Trong kia

*
là một nghiệm của hệ phương trình trên.

4. Một vài ba hệ phương trình sệt biệt:
4.1 Hệ Cramer:

Hệ phương trình con đường tính (1) được gọi là hệ Cramer ví như m = n (tức là số phương trình bằng số ẩn) với ma trận những hệ số A ko suy biến hóa (hay

*
.

Ví dụ:

Hệ phương trình

*
là hệ Cramer.

4.2 Hệ phương trình tuyến đường tính thuần nhất:

Nếu cột tự do thoải mái của hệ bằng 0 (tức là

*
) thì hệ phương trình tuyến đường tính (1) được điện thoại tư vấn là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.

Hệ này được hotline là hệ liên kết với hệ phương trình (1).4.3 dìm xét: Hệ phương trình con đường tính thuần nhất luôn có ít nhất 1 nghiệm là

*
cùng nghiệm này được call là nghiệm bình bình của hệ. 5. Định lý: Đối với một hệ phương trình con đường tính thì chỉ có 1 trong những ba trường vừa lòng nghiệm xẩy ra là: tất cả một nghiệm duy nhất;Vô nghiệm;Có rất nhiều nghiệm. 6. Hệ quả: Hệ phương trình con đường tính thuần duy nhất hoặc chỉ bao gồm nghiệm bình thường hoặc tất cả vô số nghiệm. 7. Định nghĩa: Hai hệ phương trình có cùng số ẩn được call là tương tự nhau ví như chúng bao gồm cùng tập đúng theo nghiệm. 8. Định lý: ví như hai hệ phương trình tất cả hai ma trận hệ số mở rộng tương ứng tương tự dòng cùng nhau thì chúng tương tự nhau. Hoặc có thể phát biểu lại như sau: Cho nhì hệ gồm m phương trình tuyến đường tính n ẩn bên trên K gồm dạng ma trận hóa thứu tự là
*
cùng
*
. Khi đó nếu
*
thì nhị hệ phương trình tương tự nhau. 9. Dìm xét:

Ta có thể sử dụng các phép đổi khác sơ cấp trên loại một giải pháp tùy ý đối với ma trận hóa của một hệ phương trình tuyến tính để lấy nó về dạng một hệ phương trình con đường tính đơn giản dễ dàng hơn.

10. Ví dụ: Để giải hệ phương trình ta thực hiện ma trận hóa với sử dụng những phép đổi khác sơ cấp trên dòng để mang ma trận hóa về dạng đối kháng giản.
*

Vậy hệ đã cho tương đương với

*

7. Định lý:
trả sử là 1 trong nghiệm mang lại trước của hệ phương trình (1). Lúc đó
*
là một nghiệm của hệ (1) khi và chỉ khi
*
, với v là nghiệm của hệ phương trình con đường tính thuần nhất liên kết với hệ (1).Nói phương pháp khác giả dụ
*
là những nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất links thì ta hoàn toàn có thể viết nghiệm của hệ phương trình đường tính (1) là
*
trong các số ấy
*
8. Định nghĩa:
Một nghiệm cố định và thắt chặt của hệ phương trình tuyến tính (1) được call là nghiệm riêng, còn nghiệm
*
được hotline là nghiệm bao quát của hệ.

Ví dụ:

Xét hệ phương trình sau:
*
(1)

Nhận xét hệ 1 có một nghiệm là

*

Xét hệ phương trình thuần nhất link với hệ (1).

*

Hệ thuần nhất này có các nghiệm là

*
.

Khi kia nghiệm tổng thể của hệ phương trình thuở đầu là

*
Bài 2: Các phương thức giải hệ phương trình con đường tính
_______________________________________________________1. Phương thức Cramer:

Nội dung của cách thức này cũng đó là định lý sau:

1.1 Định lý: Cho hệ Cramer
*
trong những số ấy
*
là ma trận những hệ số. Lúc đó, nếu
*
thì hệ phương trình tất cả nghiệm duy nhất xác định bởi phương pháp sau:
*
, trong đó
*
chính là ma trận chiếm được ma trận A bằng cách thay cột i bởi vì cột thông số tự do
*
giả dụ detA = 0 với tồn trên
*
sao cho
*
thì hệ phương trình vô nghiệmNếu detA = 0 và
*
thì hệ phương trình không có nghiệm nhất (nghĩa là vô nghiệm hoặc vô số nghiệm). Nếu xẩy ra trường thích hợp này thì ta vẫn dùng phương thức Gauss (được nêu vào phần tiếp theo) để giải hệ phương trình này. 1.2 Hệ quả:
Hệ phương trình đường tính thuần nhất n phương trình n ẩn có nghiệm không đều đều khi và chỉ còn khi định thức của ma trận các hệ số bằng 0.Nhận xét: Phương pháp này dùng để giải hệ phương trình bao gồm số phương trình ngay số ẩn. 1.3 các ví dụ:Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:
*
cùng với a, b, c là các số không giống 0.Giải:

Ta tất cả

*
nên đấy là hệ Cramer. Hơn nữa

*
*
*

Do đó, hệ có nghiệm độc nhất

*
;
*
;
*
■Ví dụ 2:
Giải hệ phương trình sau:
*
Giải:

Ta gồm |A|=0 cùng

*
nên hệ phương trình vô nghiệm. ■

Ví dụ 3:

Giải hệ phương trình sau:

*

Ta có

*

Hệ phương trình không có nghiệm duy nhất có nghĩa là hệ gồm vô số nghiệm hoặc hệ vô nghiệm.

Đối cùng với trường hợp này thì buộc phải dùng cách thức Gauss nhằm giải lại hệ phương trình trên. 2. Cách thức Gauss: 2.1 Định lý Cronecker Capelly: Cho hệ phương trình tuyến đường tính tổng quátA cùng lần lượt là các ma trận hệ số và ma trận hệ số mở rộng. Lúc đó:i) nếu

*
thì hệ (1) vô nghiệm;ii) giả dụ
*
thì hệ (1) gồm nghiệm. Rộng nữa: nếu r = n thì hệ (1) bao gồm nghiệm duy nhất.Nếu r 2.2 Thuật toán sau để giải hệ phương trình đường tính (gọi là thuật toán Gauss):

Lập ma trận những hệ số mở rộng . Bằng những phép thay đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận A về dạng bậc thang. Mang sử ma trận bậc thang ở đầu cuối có dạng:

*

Hệ phương trình tương xứng với ma trận C tương đương với hệ ban đầu. Bởi đó:

nếu tồn tại tối thiểu
*
cùng với
*
khác 0 thì hệ vô nghiệm.Nếu
*
thì hệ gồm nghiệm. Khi đó những cột
*
(là những cột được đánh dấu * ) được giữ lại lại phía bên trái và những
*
là các ẩn, còn những cột còn sót lại thì được đưa sang bên phải, các ẩn khớp ứng với các cột này sẽ biến tham số. Vậy ta sẽ có được n – r tham số với hệ sẽ cho khớp ứng với hệ
*

Trong đó

*
là các hàm tuyến tính của với
*
. Hệ phương trình (3) là hệ phương trình dạng tam giác ta rất có thể dễ dàng giải được bằng cách thế dần dần từ dưới lên, tức là tính theo lần lượt
*
.

Chú ý:
nếu trong vượt trình biến đổi xuất hiện nay 1 mẫu mà bên trái bởi 0 còn bên nên là số khác 0 thì ta có thể kết luận hệ phương trình vô nghiệm cùng không cần làm cái gi tiếp.

Xem thêm: Mẫu Đơn Xin Việc Hay Nhất Bằng Tiếng Việt, Top 11 Mẫu Đơn Xin Việc Chuẩn Nhất 2022

Nhận xét: Nếu ma trận thu được ở đầu cuối trong thuật toán Gauss gồm dạng A’|B’ thì A’ được hotline là ma trận rút gọn theo cái từng bậc hay đơn giản dễ dàng là ma trận rút gọn, ký kết hiệu .

Khi kia hạng của ma trận A bởi hạng của .

2.3 các ví dụ:

a) Giải hệ phương trình sau:

*
Giải:

*
nên ta bắt buộc dùng phương pháp Cramer nhằm giải hệ phương trình này.

Ta đang áp dụng phương pháp Gauss nhằm giải hệ phương trình trên.

Ta viết hệ bên dưới dạng ma trận hóa như sau:

*

Vậy hệ phương trình (*) có vô số nghiệm phụ thuộc vào thông số

*
.

*
■Chú ý:

- lúc hệ phương trình có vô số nghiệm thì mặc dù giải bằng cách thức nào ta cũng có thể có nhều biện pháp chọn biến chuyển tự do.

- khi giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, ta có không ít cách chọn hệ nghiệm cơ bản.

b) Giải hệ phương trình

*

Giải:

Ta thực hiện giải bằng thuật toán Gauss như sau:

*

Vậy hệ phương trình đầu tương tự với hệ:

*

Do đó nghiệm của hệ là .

Sinh viên hoàn toàn có thể tham khảo them thuật toán Gauss Jordan trong những tài liệu viết về đại số đường tính.

Thực chất của thuật toán Gauss Jordan thì ta sẽ triển khai các phép thay đổi trên dòng so với ma trận hệ số mở rộng trở thành ma trận gồm các đặc thù sau:

- các dòng không giống 0 thì ở trên các dòng 0;

- hệ số khác 0 đầu tiên ở các dòng khác 0 đều bằng 1.

- Các phần tử còn lại của cột chứa số 1 chuẩn (gọi là cột chuẩn) đều bằng 0. Ví dụ: Ta có thể dùng thuật toán Gauss Jordan để giải lại hệ phương trình trên:

*

Vậy nghiệm của hệ là .■

Ví dụ: Giải hệ phương trình cùng với ma trận hệ số không ngừng mở rộng là
*
Giải

Thực hiện những phép đổi khác sơ cấp cho trên loại đưa ma trận về dạng bậc thang.

*

Các thành phần trên đường chéo cánh 1; 1; -1; 1 được call là thành phần đánh dấu. Ta vẫn khử các phần tử còn lại của các thành phần ở các cột chứa thành phần đánh vết ngược từ chiếc 4 lên mẫu 1 và để được ma trận mặt vế trái là ma trận 1-1 vị.

*

Khi kia nghiệm của hệ phương trình là

*

3. Giải và biện luận một hệ phương trình tuyến tính tổng quát:
Các ví dụ:

a) Giải hệ phương trình sau:

*
Giải:

Ma trận hệ số không ngừng mở rộng của hệ phương trình trên là

*

Nếu

*
thì hệ phương trình vô nghiệm.

Nếu m = 5 thì hệ phương trình vươn lên là

*

Vậy hệ phương trình gồm vô số nghiệm phụ thuộc vào tham số

*
với
*

*
. Từ đó suy ra,
*
■b) Giải hệ phương trình
*
Giải:

Ta viết hệ xấp xỉ dạng ma trận hóa như sau:

*

*
nên:

Nếu m = 1 thì ma trận hệ số không ngừng mở rộng trên tất cả dạng

*

Khi kia hệ gồm vô số nghiệm phụ thuộc 3 thông số

*
. Tức là
*

Đặt

*
thì
*

Khi m =-3 thì hệ biến hóa

*
. Hệ phương trình vô nghiệm.

Khi thì hệ pt bao gồm nghiệm duy nhất

*
Kết luận:

- nếu m = 1 thì hệ phương trình có vô số nghiệm.

- ví như m = -3 thì hệ vô nghiệm.

- nếu như

*
thì hệ bao gồm một nghiệm nhất
*
.■

4. Giải hệ phương trình bằng cách thức thích hợp:Ví dụ 1:

Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thích hợp:

*

Cộng theo vế 4 phương trình ta được:

*
(*)

Lấy (*) trừ mang lại phương trình thứ (1) của hệ được:

*

Lấy (*) trừ mang đến phương trình đồ vật (2) của hệ được:

*

Lấy (*) trừ cho phương trình lắp thêm (3) của hệ được:

*

Thực hiện tương tự như lấy (*) trừ đến phương trình thứ (4) của hệ được:

*
Ví dụ 2:

Giải hệ phương trình sau:

*

Giải

Cách 1: SV tự giải bằng phương pháp Gauss (hoặc Gauss Jordan).

Cách 2: Cộng tất cả các phương trình ta được:

*
(*)

Nhận xét:

Khi m = - 3 thì phương trình (*) vô nghiệm, hệ vô nghiệm

Khi m = 1 hệ tất cả vô số nghiệm.

*
với
*

Khi thì chia biểu thức (*) mang đến m + 3 ta có

*

Lấy công dụng trên trừ đi phương trình trước tiên của hệ ta được:

*

Thực hiện tựa như ta được

*

Tóm tắt chương

Ở chương này, trải qua việc vận dụng những kiến thức về định thức với ma trận ta nghiên cứu thêm các phương thức để giải một hệ phương trình tuyến đường tính tổng quát.

Sau khi học kết thúc chương này, sinh viên cần vấn đáp được các thắc mắc sau:

1. Hệ phương trình đường tính gồm có yếu tố gì cần phải biết để giải? Nghiệm của hệ được xác định ra sao? bao giờ thì nhị hệ phương trình tương đương? Đặc điểm của hệ Cramer là gì? cố nào là hệ phương trình tuyến đường tính thuần nhất?

2. Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính tương tự với câu chữ nào đang học sinh hoạt chương trước? Trình bày cách thức Gauss? Sinh viên rất có thể nghiên cứu vớt thêm cách thức Gauss Jordan? Sự giống nhau và khác biệt của cách thức Gauss và cách thức Gauss Jordan?

3. Điều kiện quan trọng để có thể giải được hệ phương trình bằng phương pháp Cramer? Trình bày phương pháp Cramer?

BÀI TẬP

1) Giải những hệ phương trình sau bằng phương pháp áp dụng thuật toán Cramer và cách thức Gauss:

a)

*
b)
*

c)

*
d)
*

e)

*
f)
*

g)

*
h)
*

k)

*
l)
*
với a, b, c, d là những số thực không giống 0.

m)

*
với a, b, c, d, p, q, r, s là các số thực khác 0.

Xem thêm: Cách Làm Trứng Vịt Lộn Hầm Ngải Cứu Thuốc Bắc Thơm Ngon Bổ Dưỡng

n)

*

2. Giải các hệ phương trình tuyến đường tính thuần nhất tương xứng với những hệ đã mang đến ở bài bác tập 1 (tức là cụ cột hệ số tự do bởi cột chứa những số 0) rồi giải lại những hệ phương trình đó.

3. Giải với biện luận các hệ phương trình sau:

a)

*
b)
*
c)
*

d)

*
e)
*
f)
*

g)

*
h)
*

k)

*
l)
*

m)

*
n)
*

o)

*
p)
*
q)
*

4. đến

*
là các số nguyên. Giải hệ phương trình sau:

*

5. Giải hệ phương trình

*

6. Chứng tỏ rằng hệ phương trình sau

*
trong số ấy
*
và n lẻ, bao gồm nghiệm không giống 0.

7. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thích hợp: