BÀI TẬP TÌM THIẾT DIỆN CÓ LỜI GIẢI

     

Tìm tiết diện của hình chóp cắt vày mặt phẳng cất đường thẳng tuy nhiên song với con đường thẳng khác

Với tìm kiếm thiết diện của hình chóp cắt vị mặt phẳng đựng đường thẳng song song với đường thẳng không giống Toán lớp 11 tất cả đầy đủ phương thức giải, ví dụ như minh họa và bài bác tập trắc nghiệm tất cả lời giải cụ thể sẽ giúp học sinh ôn tập, biết phương pháp làm dạng bài bác tập tiết diện của hình chóp cắt vày mặt phẳng đựng đường thẳng song song với con đường thẳng khác từ kia đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

Bạn đang xem: Bài tập tìm thiết diện có lời giải

*

A. Phương thức giải

Xác định lần lượt những giao con đường của (P) với những mặt của hình chóp theo các bước sau:

- từ điểm chung bao gồm sẵn , khẳng định giao tuyến trước tiên của (P) cùng với một phương diện của hình chóp (Có thể là mặt trung gian)

- mang lại giao đường này cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp ta sẽ được những điểm chung new của (P) với những mặt khác . Từ bỏ đó khẳng định được các giao tuyến bắt đầu với những mặt này

- tiếp tục như thế tính đến khi những giao tuyến đường khép kín ta được tiết diện .

Sử dụng định lí: nhì mặt phẳng chứa hai đường thẳng tuy nhiên song thì giao đường của chúng tuy nhiên song cùng với 2 mặt đường thẳng đó:

*

B. Lấy một ví dụ minh họa

Ví dụ 1: cho tứ diện ABCD. điện thoại tư vấn M và N thứu tự là trung điểm của AB với AC; gọi E là điểm thuộc CD làm thế nào để cho ED = 3EC. Tiết diện tạo vày mặt phẳng (MNE) cùng tứ diện ABCD là:

A. Tam giác MNE

B. Tứ giác MNEF cùng với F là trung điểm BD

C. Hình bình hành MNEF với F là vấn đề trên cạnh BD mà EF // BC

D. Hình thang MNEF cùng với F là điểm trên cạnh BD mà EF // BC

Lời giải

*

+ Tam giác ABC gồm M; N thứu tự là trung điểm của AB; AC

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC bắt buộc MN // BC.

+ Ta tìm giao đường của mp (MNE) với mp(BCD) :

*

Gọi giao điểm của tia Ex với BD là F

Do đó: MN // EF suy ra bốn điểm M; N; E; F đồng phẳng cùng MNEF là hình thang

Vậy hình thang MNEF là thiết diện đề nghị tìm

Chọn D

Ví dụ 2: mang lại hình chóp tứ giác hầu như S. ABCD bao gồm cạnh đáy bằng a. Các điểm M; N; phường lần lượt là trung điểm của SA; SB; SC. Mặt phẳng (MNP) cắt hình chóp theo một thiết diện có diện tích bằng:

*

Lời giải

*

+ vày N; p lần lượt là trung điểm của SB; SC

⇒ NP là con đường trung bình của tam giác SBC bắt buộc NP // BC // AD

+ Ta kiếm tìm giao tuyến đường của (MNP) với (SAD) có:

*

+ vào mp ( SAD) ; điện thoại tư vấn Mx cắt SD trên Q

⇒ tiết diện của hình chóp là tứ giác MNPQ.

+ Tam giác SAD bao gồm M; Q thứu tự là trung điểm của SA; SD suy ra MQ // AD

+ Tam giác SBC tất cả N; p. Lần lượt là trung điểm của SB; SC suy ra NP // BC

ngoài ra AD // BC suy ra MQ // NP và MQ = NP = (1/2)BC = (1/2)AD

⇒ MNPQ là hình bình hành .

+ nhưng AB = AC và AB vuông góc với BC (do đây là hình chóp tứ giác đều)

⇒ MN = NP với MN vuông góc NP

⇒ MNPQ là hình vuông cạnh MN = a/2

+ Diện tích hình vuông vắn MNPQ là S = (a/2)2 = a2/4

Chọn C

Ví dụ 3: mang đến hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. điện thoại tư vấn I là trung điểm SA. Thiết diện của hình chóp S. ABCD cắt vì chưng mặt phẳng ( IBC) là:

A. Tam giác IBC

B. Hình thang IBCJ cùng với J là trung điểm SD

C. Hình thang IGBC cùng với G là trung điểm SB

D. Tứ giác IBCD

Lời giải

*

+ Ta tra cứu giao tuyến của mp (IBC) và (SAD)

*

+ Trong mặt phẳng (SAD) có: Ix // AD

Gọi giao điểm của Ix và SD là J

⇒ IJ // BC

⇒ thiết diện của hình chóp S. ABCD cắt vì chưng mặt phẳng (IBC) là hình thang IBCJ.

Chọn B

Ví dụ 4: mang lại tứ diện ABCD. điện thoại tư vấn M cùng N theo lần lượt là trung điểm AB với AC. Phương diện phẳng (α) qua MN cắt tứ diện ABCD theo thiết diện là 1 trong đa giác. Xác định nào dưới đây đúng?

A. Tiết diện là hình chữ nhật

B. Thiết diện là tam giác

C. Tiết diện là hình thoi

D. Tiết diện là tam giác hoặc hình thang

Lời giải

*

*

+ ngôi trường hợp: mp (α) ∩ AD = K

⇒ thiết diện là tam giác MNK. Cho nên A với C sai.

+ trường hợp: (α) ∩ (BCD) = IJ với I ∈ BD; J ∈ CD và I; J ko trùng D.

⇒ thiết diện là tứ giác MNJI. Hơn nữa; tứ giác MNJI là hình thang

Thật vậy, vì MN là đường trung bình của tam giác ABC đề nghị MN // BC.

*

⇒ Tứ giác MNJI là hình thang

Chọn D

Ví dụ 5: đến hai hình vuông ABCD với CDIS ko thuộc một phương diện phẳng và cạnh bằng 4. Biết tam giác SAC cân nặng tại S; SB = 8. Tiết diện của hình chóp S.ABCD cắt vị mặt phẳng (ACI) có diện tích bằng:

A. 8 B. 8√2C. 8√3D. 10

Lời giải

*

+ gọi O là giao điềm của SD với CI; N là giao điểm của AC và BD

⇒ O; N thứu tự là trung điểm của DS và DB (do ABCD với CDSI là hình vuông)

⇒ ON là con đường trung bình của tam giác SBD và ON = (1/2)SB = 4

+ tiết diện của hình chóp S.ABCD cắt do mp (ACI) là tam giác OCA.

Tam giác SAC cân nặng tại S buộc phải SC = SA

⇒ ΔSDC = ΔSDA (c.c.c)

⇒ co = AO (cùng là mặt đường trung con đường của 2 định tương ứng)

⇒ tam giác OCA cân tại O

⇒ ON là con đường trung tuyến bắt buộc đồng thời là mặt đường cao

Khi đó; diện tích tam giác OCA là:

*

Chọn B.

*

Ví dụ 6: đến hình chóp S.ABCD gồm đáy hình vuông vắn cạnh a; mặt bên SAB là tam giác đều. đến SC = SD = a√3. Gọi H với K theo lần lượt là trung điểm của SA; SB. M là mộtđiềm bên trên cạnh AD. Tiết diện của hình chóp cắt vày (HKM) là:

A. Tam giác

B. Tứ giác

C. Hình thanh cân nặng

D. Hình bình hành

Lời giải

+ xét tam giác SAB bao gồm H cùng K thứu tự là trung điểm của SA; SB

⇒ HK là mặt đường trung bình của tam giác SAB với HK // AB

+ khẳng định giao con đường của mp(HKM) với (ABCD) có;

*

+ trong mp ( ABCD) call Mx giảm BC tại N

⇒ thiết diện của hình chóp cắt vì chưng mp(HKM) là hình thang KHMN

+ Xét tam giác SAD và SBC có:

*

⇒ Tứ giác KHMN là hình thang cân

Chọn C

Ví dụ 7: đến hình chóp S.ABCD tất cả đáy ABCD là hình bình hành. Hotline I với J theo thứ tự là giữa trung tâm tam giác SAB và SAD. M là trung điểm của CD. Khẳng định thiết diện của hình chóp với mp(IJM)

A. Tứ giác B. Ngũ giácC. Hình thangD. Hình thang cân

Lời giải

+ điện thoại tư vấn H với K theo lần lượt là trung điểm của AD; AB

+ vì I cùng J là trọng tâm tam giác SAB cùng SAD nên: SJ/SH = SI/SK = 2/3

⇒ IJ // HK

+ khẳng định giao con đường của (IJM) và (ABCD):

*

+ vào mp (ABCD); Mx cắt BC trên N

⇒ thiết diện của hình chóp cùng với mp(IJM) là tứ giác IJMN

+ Lại có: IJ // MN

⇒ Tứ giác IJMN là hình thang

Chọn C

Ví dụ 8: cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang, đáy lớn AB. Gọi M là điểm trên cạnh SB làm thế nào để cho SM/SB = 1/4. Call H; K lần lượt là trung điểm của AD cùng BC. Tìm kiếm mối tương tác giữa AB và CD để thiết diện của hình chóp cắt bởi vì (HKM) là hình bình hành?

A. AB = 2CD

B. AB = 3CD

C. AB = 4CD

D. Thiết diện không thể là hình bình hành

Lời giải

+ Xét hình thang ABCD gồm H với K lần lượt là trung điểm của AD cùng BC.

⇒ HK là mặt đường trung bình của hình thang.

⇒ HK // AB // CD.

+ xác định giao con đường của mp(HKM) với (SAB):

*

+ vào mp(SAB); Mx giảm SA trên N

⇒ tiết diện là tứ giác HKMN.

+ Để thiết diện là hình bình hành lúc : MN = HK.

Xem thêm: Hình Vẽ Lá Cờ Việt Nam Đơn Giản Nhất, Quốc Kỳ Việt Nam

+ Lại có: HK = (AB + CD)/2 ( đặc thù đường vừa phải của hình thang )(1)

+ vị MN // AB nên vận dụng hệ quả định lí Ta-let:

SM/SB = MN/AB = 1/4. ⇔ MN = (AB)/4(2)

Từ ( 1) và (2) suy ra: (AB + CD)/2 = (AB)/4

⇔ 4( AB + CD) = 2AB ⇔ 2AB + 4CD = 0

Vô lí vị AB > 0 với CD > 0

⇒ tiết diện của hình chóp cắt vì chưng (HKM) quan yếu là hình bình hành.

Chọn D

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: mang đến hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành vai trung phong O . Call M là trung điểm của SA. Thiết diện của phương diện phẳng (P) cùng với hình chóp S.ABCD là hình gì? biết (P) là khía cạnh phẳng qua điểm M và song song với SC; AD.

A. Tam giác B. Tam giác cân nặng C. Tứ giác D. Hình thang

Lời giải:

*

+ Qua M kẻ các đường trực tiếp MQ // AD cùng MO // SC

Ta có: SC cùng AD lần lượt tuy vậy song với mặt phẳng (OMQ) bắt buộc (OMQ) ≡ (P)

+ tiện lợi tìm được: (OMQ) ∩ (ABCD) = NP, với NP // MQ // BC với O ∈ NP. Từ kia ta có:

*

vậy thiết diện tạo bởi (P) với hình chóp là hình thang MNPQ

Câu 2: mang đến hình chóp S.ABCD. Gọi M; N là nhị điểm bên trên SB; CD cùng (P) là khía cạnh phẳng qua MN và tuy vậy song với SC. Tiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) là?

A. Tam giác cânB. Tứ giácC. Hình thang D. Tam giác hoặc tứ giác

Lời giải:

*

Chọn C

+ Ta khẳng định mp ( P) và tìm giao tuyến của mp(P) với các mặt của hình chóp.

- Qua N kẻ NP // SC

Ta có:

*

Từ đó ta có: (MNP) là khía cạnh phẳng qua MN và tuy vậy song với SC

Vậy p. ≡ (MNP)

*

⇒ thiết diện tạo vì chưng (P) cùng hình chóp là tứ giác MPNQ

- theo cách dựng ta có; MP // NQ (cùng // SC)

⇒ MPNQ là hình thang.

Câu 3: mang đến hình chóp S.ABCD bao gồm đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng (α) qua BD và tuy vậy song cùng với SA, khía cạnh phẳng (α) giảm SC trên K. Xác định nào sau đó là khẳng định đúng ?

A. SK = 2KC

B. SK = KC

C. Tiết diện của hình chóp cắt vị mp(α) là tứ giác

D. Toàn bộ sai

Lời giải:

*

Chọn B

+ call O là giao điểm của AC và BD. Do mặt phẳng (α) qua BD đề xuất O ∈ (α)

+ trong tam giác SAC, kẻ OK tuy nhiên song SA (K ∈ SC)

*

+ trong tam giác SAC ta gồm

*
là đường trung bình của ΔSAC

Vậy SK = KC

+ Mp(α) ≡ mp(KBD) buộc phải thiết diện của hình chóp cắt vì mp(KBD) là tam giác KBD.

*

Câu 4: mang lại hình chóp S. ABCD tất cả đáy ABCD là hình thang, AD // BC và AD = 2 BC, M là trung điểm SA. Phương diện phẳng (MBC) giảm hình chóp theo tiết diện là

A. Tam giácB. Hình bình hành. C. Hình thang vuông. D. Hình chữ nhật.

Lời giải:

*

Chọn B

+ Ta có:

*

⇒ Mx // BC // AD; điện thoại tư vấn Mx giảm SD tại N

⇒ thiết diện của hình chóp cắt vì chưng mp( MBC) là tứ giác MNCB

+ Ta có: MN // AD // BC buộc phải MNCB là hình thang

Lại bao gồm MN // AD cùng M là trung điểm SA

⇒ MN là đường trung bình của tam giác SAD với MN = (1/2)AD = BC

⇒ thiết diện MNCB là hình bình hành.

Câu 5: mang lại tứ diện ABCD và M là vấn đề ở trên cạnh AC. Khía cạnh phẳng (α) qua và M tuy vậy song cùng với AB và CD. Thiết diện của tứ diện cắt bởi (α) là

A. Hình bình hànhB. Hình chữ nhậtC. Hình thangD. Hình thoi.

Lời giải:

*

Chọn A

+ trên mp(ABC) kẻ MN // AB; N ∈ BC

Trên mp(BCD) kẻ NP // CD; p ∈ BD

⇒ (α) đó là mặt phẳng (MNP)

*

Gọi giao điểm của Px và AD là Q. Vậy MN // PQ // AB(1)

Khi đó, thiết diện của hình chóp cắt vị mp( MNP) là tứ giác MNPQ.

+ Ta có; 3 mp(MNP); mp(ACD) cùng mp(BCD) song một cắt nhau theo 3 giao tuyến là MQ; NP với CD

⇒ MQ // NP // CD (định lí giao con đường 3 khía cạnh phẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra thiết diện MNPQ là hình bình hành

Câu 6: mang đến hình chóp S. ABCD bao gồm đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy là AB với CD. Gọi I; J thứu tự là trung điểm của các cạnh AD với BC với G là trung tâm của tam giác SAB.

Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của (IJG) và hình chóp là 1 trong hình bình hành.

Xem thêm: Lập Dàn Ý Nghị Luận Văn Học Chi Tiết Nhất, Dàn Ý 6 Kiểu Đề Bài Nghị Luận Văn Học

*

Lời giải:

*

+ search thiết diện của hình chóp cắt vày mp(IJG):

Ta tất cả ABCD là hình thang cùng I; J là trung điểm của AD; BC

⇒ IJ là đường trung bình của hình thang ABCD và IJ // AB.

Giao con đường của mp (IJG) và mp (SAB):

*

+ thường thấy thiết diện là tứ giác MNIJ

Do G là giữa trung tâm tam giác SAB cùng MN // AB nên theo hệ trái định lí Ta-let ta có: MN/AB = SG/SE = 2/3 (với E là trung điểm của AB)

⇒ MN = (2/3)AB

+ lại sở hữu IJ là con đường trung bình của hình thang ABCD cần IJ = (1/2)(AB + CD)

Vì MN // IJ nên MNIJ là hình thang

Do kia MNIJ là hình bình hành lúc MN = IJ

*

Vậy thết diện là hình bình hành khi AB = 3CD

Chọn D

Câu 7: đến tứ diện ABCD những cạnh bởi nhau. Hotline I và J thứu tự là trung điểm của AC với BC. Call K là một điểm bên trên cạnh BD với KB = 2KD. Hỏi thiết diện của tứ diện cùng với mp(IJK) là hình gì?