BÀI TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1

     
Hệ phương trình đối xứng loại 1 hướng dẫn nhận dạng và biện pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1 cùng các bài toán có tương quan đến hệ phương trình đối xứng nhiều loại 1 đầy đủ, rõ ràng, dễ hiểu. Sau phần triết lý sẽ là phần đông ví dụ về những dạng bài xích cơ bản liên quan mang đến hệ đối xứng các loại 1, giúp những em hoàn toàn có thể nắm rõ cách thức làm bài xích cho loại bài bác tập này.

Bạn đang xem: Bài tập hệ phương trình đối xứng loại 1

TẢI XUỐNG PDF ↓

Lý thuyết bắt buộc nắm

Định nghĩa

Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình tất cả dạng

f(x; y) = ag(x; y) = b

(I) trong các số ấy f(x; y), g(x; y) là các biểu thức đối xứng, có nghĩa là f(x; y) = f(y; x), g(x; y) = g(y; x).

Cách giải hệ phương trình đối xứng nhiều loại 1:

+ Đặt S = x + y, p = xy.+ biểu diễn f(x; y), g(x; y) qua S với P, ta có hệ phương trình:

F(S; P) = 0G(S; P) = 0

, giải hệ phương trình này ta tìm kiếm được^ S, P.

+ khi ấy x, y là nghiệm của phương trình X^2– SX + p. = 0 (1).

Một số màn biểu diễn biểu thức đối xứng qua S cùng P:

x^2 + y^2 = ( x + y)^2 – 2xy = S^2 – 2P

x^3 + y^3 = (x+y)( x^2 + y^2 – xy) = S^3 – 3SP

x^2y + y^2x = xy(x+y) = SP

x^4 + y^4 = ( x^2 + y^2) – 2x^2y^2 = ( S^2 – 2P) – 2P^2

Chú ý:+ nếu (x; y) là nghiệm của hệ (I) thì (y; x) cũng chính là nghiệm của hệ (I).+ Hệ (I) bao gồm nghiệm lúc (1) bao gồm nghiệm tốt S^2– 4P ≥ 0.

Ví dục minh họa

Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau:

1.x + y + 2xy = 2x^3 + y^3 = 8

2. X^3 + y^3 = 19(x + y)(8 + xy) = 2

1. Đặt S = x + y, p = xy. Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành:S + 2P = 2S(S^2– 3P) = 8⇔ p. =(2 – S)/2S

⇒ 2S^3 + 3S^2– 6S– 16 = 0 ⇔ (S– 2)( 2S^2 + 7S + 8) = 0 ⇔ S = 2 ⇒ phường = 0.

Suy ra x, y là nghiệm của phương trình: X^2– 2X = 0 ⇔X = 0X = 2

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là:x = 0y = 2hoặcx = 2y = 0

2. Đặt S = x + y, p = xy. Khi ấy hệ phương trình đã đến trở thành:S(S^2– 3P) = 19S(8 + P) = 2⇔SP = – 8SS^3– 3(2– 8S) = 19⇔SP = 2– 8SS^3 + 24S– 25 = 0⇔S = 1P = – 6

Suy ra x, y là nghiệm của phương trình X^2– X– 6 = 0 ⇔X = 3X = – 2Vậy hệ phương trình đã cho bao gồm cặp nghiệm: (x; y) = ( − 2; 3), (3; − 2).

Xem thêm: Thực Đơn Hàng Ngày Cho Người Cao Huyết Áp, Và Cách Xây Dựng Chế Độ Ăn Khoa Học

Ví dụ 5. tìm kiếm m để các hệ phương trình tiếp sau đây có nghiệm:

1.x + y = mx^2 + y^2 = 2m + 1

2.x +1/x+ y +1/y= 5

x^3 +1/x^3 + y^3 +1y^3 = 15m– 10

1. Đặt S = x + y, phường = xy, ta có:S = mS^2– 2P = 2m + 1 ⇔S = mP =1/2(m^2– 2m– 1)

Hệ phương trình bao gồm nghiệm khi và chỉ còn khi: S^2– 4P ≥ 0 ⇔ m^2– 2( m^2– 2m– 1) = – m^2 + 4m + 2 ≥ 0 ⇔ 2– √6 ≤ m ≤ 2 + √6.

2. Đặt a = x +1/x, b = y +1/y⇒ |a| ≥ 2; |b| ≥ 2.Hệ phương trình đã đến trở thành:a + b = 5a^3 + b^3– 3(a + b) = 15m– 10 ⇔

a + b = 5ab = 8– m

Suy ra a, b là nghiệm của phương trình: X^2– 5X + 8– m = 0 ⇔ X^2– 5X + 8 = m (1).Hệ phương trình vẫn cho bao gồm nghiệm khi và chỉ khi (1) tất cả hai nghiệm rành mạch thỏa: |X| ≥ 2.Xét tam thức f(X) = X^2– 5X + 8 với |X| ≥ 2, ta bao gồm bảng trở nên thiên sau:

Dựa vào bảng đổi mới thiên suy ra (1) có hai nghiệm thỏa |X| ≥ 2 khi và chỉ khim ≥ 22 hoặc 7/4≤ m ≤ 2.

Ví dụ 8: Cho nhị số thực x, y thỏa x + y = 1.

Tìm giá trị nhỏ tuổi nhất của biểu thức: A = x^3 + y^3

Xét hệ phương trình:x + y = 1x^3 + y^3 = A⇔S = 1S(S^2– 3P) = A⇔S = 1P =(1 –A)/3

Ta có: x, y sống thọ ⇔ hệ có nghiệm ⇔ S^2– 4P ≥ 0 ⇔ 1– (13-A)/3≥ 0 ⇔ A ≥1/4Vậy giá chỉ trị nhỏ dại nhất của A là min A =1/4 ⇔ x = y =1/2

Ví dụ 9. Cho những số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thỏa mãn:

(x + y)xy = x^2 + y^2– xy. Tìm giá bán trị lớn nhất của biểu thức: A =1/x^3 +1/y^3.Xét hệ phương trình:

(x + y)xy = x^2 + y^2– xy

1/x^3 +1/y^3 = A

Đặt a =1/x, b =1/y(a, b ≠ 0), hệ phương trình trên trở thành:a + b = a^2 + b^2– ab

a^3 + b^3 = A

Đặt S = a + b, p. = ab, ta có:S = S^2– 3PS(S^2– 3P) = A⇔S^2 = A3P = S^2– S

Từ a + b = a^2 + b^2– ab > 0, suy ra S > 0.

Hệ phương trình này còn có nghiệm ⇔ S^2 ≥ 4P ⇔ 3S^2 ≥ 4(S^2– S)⇔ S ≤ 4 ⇔ A = S^2 ≤ 16.

Xem thêm: Mẫu Móng Chân Màu Đỏ Mận Nổi Bật, Những Mẫu Nail Màu Đỏ Cherry Cuốn Hút Hiện Nay

Đẳng thức xảy ra ⇔S = 4P =(S^2 – S)/3= 4⇔ a = b = 2 ⇔ x = y =1/2Vậy giá bán trị lớn số 1 của A là max A = 16 ⇔ x = y =1/2.

Bài tập hệ phương trình đối xứng một số loại 1

*
*
*

Vậy là bọn họ đã mày mò về lý thuyết tương tự như các lấy ví dụ như cơ bạn dạng của hệ phương trình đối xứng nhiều loại 1. Nắm chắc chắn được cách thức giải, tư duy, các em hoàn toàn có thể vận dụng để làm những bài bác tập nâng cao của hệ phương trình đối xứng loại 1. Chúc những em học tốt!