Bài tập giới hạn hàm số lớp 11

     

Với phương pháp giải các dạng toán về giới hạn của hàm số môn Toán lớp 11 Đại số với Giải tích gồm phương thức giải đưa ra tiết, bài tập minh họa có giải mã và bài xích tập từ luyện để giúp học sinh biết phương pháp làm bài tập những dạng toán về số lượng giới hạn của hàm số lớp 11. Mời chúng ta đón xem:


Giới hạn của hàm số và giải pháp giải bài tập - Toán lớp 11

1. Lý thuyết

a) giới hạn của hàm số tại một điểm:

* giới hạn hữu hạn: Cho khoảng chừng K đựng điểm x0 . Ta bảo rằng hàm số f(x) khẳng định trên K (có thể trừ điểm x0) có giới hạn là L khi x dần tới x0 ví như với hàng số (xn) bất kì, xn∈Kx0và xn→x0, ta có: f(xn)→L

Kí hiệu:limx→x0f(x)=L tuyệt f(x)→Lkhi x→x0.

Bạn đang xem: Bài tập giới hạn hàm số lớp 11

Nhận xét: nếu f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x0 thì limx→x0fx=fx0.

* số lượng giới hạn ra vô cực:

Hàm số y = f(x) có giới hạn dần tới dương vô rất khi x dần dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn):xn→x0thì f(xn)→+∞.

Kí hiệu: .

Hàm số y = f(x) có giới hạn dần cho tới âm vô rất khi x dần dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn):xn→x0thì f(xn)→−∞.

Kí hiệu: limx→x0f(x)=−∞.

b) số lượng giới hạn của hàm số tại vô cực:

* giới hạn ra hữu hạn:

- Ta nói hàm số y = f(x) khẳng định trên (a;+∞)có giới hạn là L lúc x→+∞nếu với đa số dãy số (xn):xn>avà xn→+∞thì f(xn)→L.

Kí hiệu: limx→+∞f(x)=L.

- Ta nói hàm số y = f(x) khẳng định trên (−∞;b)có giới hạn là L lúc x→−∞nếu với tất cả dãy số (xn):xnbvà xn→−∞thì f(xn)→L.

Kí hiệu: limx→−∞f(x)=L.

* số lượng giới hạn ra vô cực:

- Ta nói hàm số y = f(x) xác định trên (a;+∞)có số lượng giới hạn dần cho tới dương hết sức (hoặc âm vô cùng) khi x→+∞nếu với mọi dãy số (xn):xn>avà xn→+∞thì f(xn)→+∞(hoặc f(xn)→−∞).

Kí hiệu: limx→+∞f(x)=+∞(hoặc limx→+∞f(x)=-∞).

- Ta nói hàm số y = f(x) khẳng định trên (−∞;b)có giới hạn là dần dần tới dương vô cùng (hoặc âm vô cùng) khi x→−∞nếu với mọi dãy số (xn):xnbvà xn→−∞thì f(xn)→+∞. (hoặc f(xn)→−∞).

Kí hiệu: limx→-∞f(x)=+∞(hoặc limx→-∞f(x)=−∞).

c) Các số lượng giới hạn đặc biệt:

*

d) Một vài định lý về số lượng giới hạn hữu hạn:

*

Chú ý:

- các định lý về số lượng giới hạn hữu hạn của hàm số vẫn đúng vào lúc thay x→x0bởi x→+∞ hoặc x→-∞.

- Định lí bên trên ta chỉ vận dụng cho phần nhiều hàm số có số lượng giới hạn là hữu hạn. Ta ko áp dụng cho các giới hạn dần về vô cực.

* Nguyên lí kẹp:

Cho cha hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên K đựng điểm x0 (có thể những hàm kia không khẳng định tại x0). Nếu như g(x)≤f(x)≤h(x)  ∀x∈Klimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=Lthì .

e) phép tắc về giới hạn vô cực

Quy tắc tìm số lượng giới hạn của tích f(x)g(x)

*

Quy tắc tìm giới hạn của thươngf(x)g(x)

f) giới hạn một bên:

* số lượng giới hạn hữu hạn:

- Định nghĩa 1: trả sử hàm số f xác định trên khoảng x0;b,x0∈ℝ. Ta bảo rằng hàm số f có giới hạn bên buộc phải là số thực L lúc dần mang lại x0 (hoặc trên điểm x0) nếu với đa số dãy số bất kì (xn) hồ hết số thuộc khoảng (x0; b) nhưng mà lim xn = x0 ta đều phải có lim f(xn) = L.

Khi đó ta viết: limx→x0+fx=Lhoặc fx→Lkhi x→x0+.

- Định nghĩa 2: giả sử hàm số f xác định trên khoảng a;x0,x0∈ℝ. Ta bảo rằng hàm số có số lượng giới hạn bên trái là số thực L khi x dần cho x0 (hoặc tại điểm x0) nếu với đa số dãy bất kỳ (xn) đông đảo số thuộc khoảng chừng (a; x0) mà lại lim xn = x0 ta đều phải sở hữu lim f(xn) = L.

Khi kia ta viết: limx→x0−fx=Lhoặc fx→Lkhi x→x0−.

- nhận xét:

limx→x0fx=L⇔limx→x0−fx=limx→x0+fx=L

Các định lí về số lượng giới hạn của hàm số vẫn đúng khi thay x→x0bởi x→x0− hoặc x→x0+.

* số lượng giới hạn vô cực:

- các định nghĩa limx→x0−fx=+∞, limx→x0−fx=−∞, limx→x0+fx=+∞và limx→x0+fx=−∞được phát biểu giống như như định nghĩa 1 và tư tưởng 2.

- nhấn xét: các định lí về số lượng giới hạn của hàm số vẫn đúng nếu gắng L bởi vì +∞ hoặc-∞

2. Các dạng bài bác tập

Dạng 1: giới hạn tại một điểm

Phương pháp giải:

- giả dụ f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x0 thìlimx→x0fx=fx0

- Áp dụng quy tắc về số lượng giới hạn tới vô cực:

*

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

*

Lời giải

Ví dụ 2: Tính những giới hạn sau:

*

Lời giải

Dạng 2: số lượng giới hạn tại vô cực

Phương pháp giải:

- Rút lũy thừa gồm số mũ khủng nhất

- Áp dụng quy tắc số lượng giới hạn tới vô cực

*

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

a)limx→+∞(7x5+5x2−x+7)

b)limx→−∞4x5−3x3+x+1

Lời giải

*

Ví dụ 2: Tính những giới hạn sau:

a)limx→+∞x6+5x−1

b)limx→−∞2x2+1+x

Lời giải

*

Dạng 3: Sử dụng nguyên tắc kẹp

Nguyên lí kẹp:

Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên K cất điểm x0 (có thể các hàm đó không xác định tại x0). Trường hợp g(x)≤f(x)≤h(x)  ∀x∈Klimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=Lthì limx→x0f(x)=L.

Phương pháp giải:

Xét tính bị ngăn của hàm số f(x) do hai hàm số g(x) và h(x) sao cholimx→x0g(x)=limx→x0h(x)=L

Chú ý tính bị chặn của hàm con số giác:

−1≤sinx≤1−1≤cosx≤1

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính số lượng giới hạn của hàm số:

a)limx→0x2cos2nx

b)limx→−∞cos5x2x

Lời giải

*

Ví dụ 2: Tính số lượng giới hạn của hàm số:limx→+∞2sinx+cos3xx+1−x

Lời giải

*

Dạng 4: số lượng giới hạn dạng vô định00

Nhận biết dạng vô định 00: Tính limx→x0f(x)g(x)trong kia f(x0) = g(x0) = 0.

Phương pháp giải:

Để khử dạng vô định này ta so sánh f(x) cùng g(x) làm thế nào để cho xuất hiện nhân tử bình thường là (x – x0)

Định lí: Nếu đa thức f(x) bao gồm nghiệm x = x0 thì ta có: f(x) = (x – x0)f1(x).

* trường hợp f(x) cùng g(x) là những đa thức thì ta phân tích f(x) = (x – x0)f1(x) với g(x) = (x – x0)g1(x).

Khi đó limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f1(x)g1(x), giả dụ giới hạn này có dạng 00thì ta liên tiếp quá trình như trên.

Chú ý: giả dụ tam thức bậc nhị ax2 + bx + c tất cả hai nghiệm x1; x2 thì ta luôn luôn có sự phân tích: ax2 + bx + c = a(x – x1) (x – x2)

* trường hợp f(x) và g(x) là các hàm đựng căn thức thì ta nhân lượng liên hợp để chuyển về các đa thức, rồi phân tích những đa thức như trên.

Các lượng liên hợp:

*

* ví như f(x) với g(x) là những hàm đựng căn thức không đồng cấp ta sử dụng phương thức tách, chẳng hạn:

Nếu u(x)n,v(x)m→c thì ta phân tích:

u(x)n−v(x)m=(u(x)n−c)−(v(x)m−c)

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính những giới hạn sau:

a)limx→1x3−3x2+2x2−4x+3

b)limx→22x2−5x+2x3−8

Lời giải

a)limx→1x3−3x2+2x2−4x+3

=limx→1(x−1)(x2−2x−2)(x−1)(x−3)=limx→1x2−2x−2x−3=32

b)limx→22x2−5x+2x3−8

=limx→2(2x−1)(x−2)(x−2)(x2+2x+4)=limx→22x−1x2+2x+4=14

Ví dụ 2: Tính những giới hạn sau:

*

Lời giải

*

*

Dạng 5: giới hạn dạng vô định∞∞

Nhận biết dạng vô định∞∞

limx→x0uxvxkhi limx→x0ux=±∞,limx→x0vx=±∞

limx→±∞uxvx khilimx→x0ux=±∞,limx→x0vx=±∞

Phương pháp giải:

- chia tử cùng mẫu mang lại xn với n là số mũ tối đa của biến hóa ở chủng loại (Hoặc phân tích kết quả chứa nhân tử xn rồi giản ước).

- Nếu u(x) hoặc v(x) gồm chứa thay đổi x trong vệt căn thì chuyển xk ra phía bên ngoài dấu căn (Với k là mũ tối đa của trở nên x trong vệt căn), kế tiếp chia tử cùng mẫu mang đến lũy thừa tối đa của x.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

*

Lời giải

*

*

Ví dụ 2: Tính những giới hạn sau:

*

Lời giải

*

*

*

Dạng 6: giới hạn dạng vô định ∞−∞ và0.∞

Phương pháp giải:

- nếu như biểu thức chứa thay đổi số dưới vết căn thì nhân và phân tách với biểu thức liên hợp

- giả dụ biểu thức chứa được nhiều phân thức thì quy đồng chủng loại và đem về cùng một biểu thức

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

*

Lời giải

*

Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:

a)limx→01x−1x2

b)limx→01x1x+1−1

Lời giải

*

Dạng 7: Tính số lượng giới hạn một bên

Phương pháp giải:

Sử dụng phép tắc tính số lượng giới hạn tới vô cực

*

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:

*

Lời giải

*

Ví dụ 2: mang đến hàm số fx=x2+11−x khi x12x−2 khi x≥1. Tính:

a)limx→1+fx

b) limx→1−fx

Lời giải

a)limx→1+fx=limx→1+2x−2=2.1−2=0

b) limx→1−fx=limx→1−x2+11−x=+∞ vìlimx→1−x2+1=2>0limx→1−1−x=0x→1−⇒x1⇒1−x>0

Dạng 8: tra cứu tham số m để hàm số có giới hạn tại 1 điểm mang lại trước

Phương pháp giải:

Sử dụng thừa nhận xét:limx→x0fx=L⇔limx→x0−fx=limx→x0+fx=L

- Tính giới hạnlimx→x0−fx;  limx→x0+fx

- Để hàm số có số lượng giới hạn tại x = x0 mang đến trước thì limx→x0−fx= limx→x0+fx. Search m.

Khi đó với m vừa kiếm tìm được, hàm số có giới hạn tại x = x0 đến trước và số lượng giới hạn đó bằngL=limx→x0−fx= limx→x0+fx

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: mang lại hàm số fx=x2−3x+2x−2      x>2a                       x≤2. Với cái giá trị làm sao của a thì hàm số đã đến có số lượng giới hạn tại điểm x = 2?

Lời giải

Ta có

limx→2+fx=limx→2+x2−3x+2x−2=limx→2+x−1x−2x−2=limx→2+x−1=1

limx→2−fx=a.

Để hàm số có số lượng giới hạn tại x = 2 thì limx→2+fx= limx→2−fx.

⇒a=1

Vậy a = 1.

Ví dụ 2: Tìm các giá trị thực của tham số fx=m−3khi x12m−13khi x=11−7x2+2khi x>1để hàm số để tồn tại limx→1fx.

Lời giải

Ta cólimx→1−fx=limx→1−m−3=m−3limx→1+fx=limx→1+1−7x2+2=−2

Để hàm số có số lượng giới hạn tại x = 1 thì limx→1−fx=limx→1+fx.

⇒m−3=−2⇔m=1

Vậy m = 1.

3. Bài bác tập từ luyện

Câu 1. Tính limx→1−−3x−1x−1bằng:

A. -1

B. -∞

C.+∞

D. -3

Câu 2. Tính limx→+∞2x2−13−x2bằng:

A.

Xem thêm: Soạn Anh Unit 3 Lớp 10 People'S Background Sgk Hệ 7 Năm, Unit 3: Music

-2

B.13

C.23

D. 2

Câu 3. Tính limx→2x3−8x2−4bằng:

A. 3

B. 1

C. 4

D. 2

Câu 4. Tính limx→−4x2+3x−4x2+4xbằng:

A. -1

B. 54

C. 1

D.-54

Câu 5. Tính limx→1x3−1x−1bằng:

A. 13

B. 1

C. 12

D. 2

Câu 6. Tính limx→0x3+1−1x2+xbằng:

A. 4

B. 3

C. 0

D. 1

Câu 7. Tính limx→−∞4x2−x+1x+1 bằng:

A. -2

B. 1

C. 2

D. -1

Câu 8. Tính limx→+∞x+5−x−7 bằng:

A.-∞

B.+∞

C. 0

D. 4

Câu 9. Tính limx→−∞−2x5+x4−33x2−7là:

A. 0

B. +∞

C. -2

D.-∞

Câu 10. Tínhlimx→+∞x2−4x−x

A. -2

B. -∞

C. 0

D.+∞

Câu 11. Cho limx→−∞x2+ax+5+x=5. Giá trị của a là:

A. 6

B. 10

C. -10

D. -6

Câu 12. Kết quả đúng của limx→1x3−1x4−1bằng:

A. 34

B. 4

C. 43

D. 3

Câu 13. Trong những mệnh đề sau, mệnh đề làm sao đúng?

A. limx→−∞x4−x1−2x=0

B. limx→−∞x4−x1−2x=+∞

C. limx→−∞x4−x1−2x=1

D. limx→−∞x4−x1−2x=−∞

Câu 14. Cho fx=4−x2      −2≤x≤2x2−4x−2                         x>2. Tính limx→−2+fx.

A. 0

B. 4

C.+∞

D.

Xem thêm: 7+ Màu Nhuộm Tóc Màu Tối Cho Học Sinh Nữ Cấp 2, Database Error

ko tồn tại

Câu 15. Tìm các giá trị thực của thông số m để hàm số fx=x+m khi  x0x2+1khi  x≥0 có số lượng giới hạn tại x = 0.